Definiendo un PI mediante una BON

Es usual definir un Producto Interno a través de una fórmula, siempre que ésta cumpla los axiomas de un PI. Sin embargo, es posible definir un PI a través de definir una Base Ortonormal (BON) para el espacio en cuestión (siempre que sea finito).

La idea es análoga al Teorema Fundamental de las Transformaciones Lineales, ese que nos dice que una TL queda bien definida si damos los transformados de una base del espacio vectorial de salida:

Un PI sobre un espacio vectorial de dimensión finita queda bien definido si damos una BON de “dicho” espacio dado ese PI.

Obtener PI a partir de BON

Sea $B=\{v_1, v_2, \cdots, v_n\}$ BON del espacio vectorial $\VV(\KK)$ bajo un producto interno. Dados $v,w \in \VV$, queremos hallar $\inner{v}{w}$.

Como $B$ es base, podemos escribir: $v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n$, $w = \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + \cdots + \beta_n v_n$, con $\alpha_i, \beta_i \in \KK$.

Usando las propiedades del PI, llegamos a:

$$\begin{align} \inner{v}{w} &= \inner{\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n}{\beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + \cdots + \beta_n v_n} \nonumber\\ & = \conj{\alpha_1}\beta_1 \inner{v_1}{v_1} + \conj{\alpha_1}\beta_2 \inner{v_1}{v_2} + \conj{\alpha_1}\beta_3 \inner{v_1}{v_3} \nonumber\\ & + \conj{\alpha_2}\beta_1 \inner{v_2}{v_1} + \conj{\alpha_2}\beta_2 \inner{v_2}{v_2} + \conj{\alpha_2}\beta_3 \inner{v_2}{v_3} \nonumber\\ & + \conj{\alpha_3}\beta_1 \inner{v_3}{v_1} + \conj{\alpha_3}\beta_2 \inner{v_3}{v_2} + \conj{\alpha_3}\beta_3 \inner{v_3}{v_3} \label{eq:PI_gigante} \end{align}$$

La cual es una cuenta muy tediosa, pero es el caso más general posible.

Ahora, usando el dato que $B$ es BON, la expresión se simplifica, puesto que: $\inner{v_i}{v_j} = 0, \, i \neq j$ y $\inner{v_i}{v_i} = i$.

Queda entonces:

$$\begin{align} \inner{v}{w} &= \inner{\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n}{\beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + \cdots + \beta_n v_n} \nonumber\\ & = \conj{\alpha_1}\beta_1 + \conj{\alpha_2}\beta_2 + \conj{\alpha_3}\beta_3 \label{eq:PI_BON} \end{align}$$

Algo sobre Matriz de Producto Interno

El siguiente tema no pertence a los contenidos actuales de la materia Álgebra II 61.08 / 81.02
El desarrollo a continuación se da a forma de divulgación, por lo cual no intenta tener la suficiente rigurosidad matemática.
Tampoco se puede utilizar libremente estos resultados en un examen. En tal caso se debería realizar la deducción completa de todos los razonamientos que llevaron a estos a partir de los temas dados en la materia.

Si miran con calma la expresión \eqref{eq:PI_BON} notaran que tiene una forma similar a un producto interno canónico… e incluso podrán notar que se puede escribir como:

$$\begin{align} \inner{v}{w} &= \conj{\alpha_1}\beta_1 + \conj{\alpha_2}\beta_2 + \conj{\alpha_3}\beta_3 \nonumber\\ &= \herm{[v]_B} [w]_B \label{eq:PI_BON_coordenadas} \end{align}$$

Esto no es un resultado casual. Traduciendo un poco la expresión \eqref{eq:PI_BON_coordenadas}, dice una cosa bastante interesante:

El Producto Interno de dos vectores cualesquiera, bajo un PI cualquiera, es igual al PIC de las coordenadas de dichos vectores en una BON (considerando dicho PI).

Incluso podemos dar un resultado mucho más genérico: Si analizamos la expresión monstruosa del PI de la ecuación \eqref{eq:PI_gigante} vemos podemos reescribirla como:

$$\begin{align} \inner{v}{w} &= \herm{[v]_B} G_B [w]_B \label{eq:PI_Gram} \end{align}$$

Donde: $G_B = \mtx{ \inner{v_1}{v_1} & \inner{v_1}{v_2} & \inner{v_1}{v_3} \\ \inner{v_2}{v_1} & \inner{v_2}{v_2} & \inner{v_2}{v_3} \\ \inner{v_3}{v_1} & \inner{v_3}{v_2} & \inner{v_3}{v_3} }$

Bueno, a la matriz $G_B$ se la llama Matriz de Gram, o –por razones obvias– Matriz de Producto Interno.

Por ejemplo, y sólo por decir algo en al aire, la expresión \eqref{eq:PI_Gram} define un producto interno si y sólo si la matriz $G_B$ es definida positiva (y $B$ base de $\VV$).

Hay muchos teoremas y propiedades que hacen a la cuestión, pero que no vemos en el curso por razones de tiempo. Si quieren interiorizarse en el tema, pueden leer el libro “Álgebra lineal y sus aplicaciones” por David C. Lay.