En la materia y en los apuntes, se menciona un método “sencillo” para armar la matriz en base canónica de una proyección con PIC en $\CC^n$ . Una deducción oficial se puede encontrar en la página 97 del apunte de Muszkats y Pustilnik nombrado como Teorema 3.19 en la revisión del 2 de abril del 2017, la cual resumí en este otro post.

El resultado se puede enunciar así:

Sea $\VV=\CC[n]$ con el PIC, y sea $U$ una matriz que tiene por columnas una BON de ${S} \subset \CC[n]$ . La matriz en base canónica de la proyección ortogonal sobre ${S}$ es: $[\mathcal{P}_{S}]_E = U\herm{U}$

Si bien rara vez se demuestra este resultado en la cursada, estas abundan y las hay para todos los gustos.

En lo personal, me encanta la siguente demostración ya que fue la primera que descubrí y es muy intuitiva, y hace gala del álgebra matricial de forma muy sencilla pero potente. Sin embargo, por motivos didácticos (tal vez) vamos a empezar demostrando un caso particular que luego retomaremos al final en su forma completa.

Hay muchas otras más demostraciones, puse la oficial y las más interesantes en este otro post.

Deducción constructiva

Vamos a trabajar en el espacio vectorial $\VV=\CC[n]$ , con el producto interno canónico, definido como $\inner{x}{y} \eqdef \herm{y} x$ .

Para evitar complejidad adicional, vamos partir de suponer que disponemos de $B$ que es una base ortogonal del subespacio ${S} \subset \VV$ sobre el cual queremos proyectar ortogonalmente. Llamemos $B=\{v_1, v_2, \cdots, v_k\}$ BOG de ${S}$ .

La “fórmula de la proyección” nos permite escribirla como:

$\proy{S}{x} = \frac{\inner{v_1}{x}} {\inner{v_1}{v_1}} v_1 + \frac{\inner{v_2}{x}} {\inner{v_2}{v_2}} v_2 + \cdots + \frac{\inner{v_k}{x}}{\inner{v_k}{v_k}} v_k$

Lo primero que vamos a hacer es normalizar la base. Vamos a trabajar sobre la base $B'=\{u_1, u_2, \cdots, u_k\}$ de ${S}$ . Para ello, tomamos $u_j \eqdef \frac{1}{\norm{v_j}} \, v_j$

Usando esta base de ${S}$ , la formula de proyección queda más compacta:

$\proy{S}{x} = \inner{u_1}{x} u_1 + \inner{u_2}{x} u_2 + \cdots + \inner{u_k}{x} u_k$

Queda claro que $\inner{u_j}{x} \in \CC$ , es decir, los productos internos son simplemente números; así la expesión anterior es una combinación lineal de los vectores $u_j$ , y procedemos a expresarla matricialmente:

$\proy{S}{x} = \mtx{u_1 & u_2 & \cdots & u_k} \mtx{ \inner{u_1}{x} \\ \inner{u_2}{x} \\ \vdots \\ \inner{u_k}{x} }$

Al multiplicar una matriz a derecha por un vector, estamos haciendo combinaciones lineales de sus columnas.
Ejemplo: Consideremos el producto $Ax = \mtx{1 & 4 \\ 0 & -1 \\ 1 & 2} \mtx{2 \\ -1} =\mtx{-2 \\ 1 \\ 0}$ .
Esto puede interpretarse como la combinación lineal de las columnas de $A$ según los coeficientes del vector $x$ :
$Ax = \mtx{1 & 4 \\ 0 & -1 \\ 1 & 2} \mtx{2 \\ -1} = 2\mtx{1 \\ 0 \\ 1} + (-1) \mtx{4 \\ -1 \\ 2} = \mtx{-2 \\ 1 \\ 0}$ .

En el desarrollo anterior, realizamos el camino inverso, escribiendo la combinación lineal como el producto de una matriz cuyas columnas son los vectores $u_1 \cdots u_k$ multiplicada por un vector con los coeficientes de la combinación lineal original.

Por otra parte, voy a escribir el producto interno canónico $\inner{u_k}{x}$ como $\herm{u_k} x$ (que recordemos, no es más que una forma de escribir un número):

$\proy{S}{x} = \mtx{u_1 & u_2 & \cdots & u_k} \mtx{ \herm{u_1} x \\ \herm{u_2} x \\ \vdots \\ \herm{u_k} x }$

Finalmente, notemos que el vector de productos internos puede escribirse como un producto matricial:

$\proy{S}{x} = \mtx{u_1 & u_2 & \cdots & u_k} \mtx{ \herm{u_1} \\ \herm{u_2} \\ \vdots \\ \herm{u_k} } x$

Recien vimos el hecho de multiplicar una matriz a derecha por un vector como una combinación lineal de sus columnas. Eso es cierto, pero hay otro enfoque complementario (que es la forma de multiplicar del CBC):
Al multiplicar una matriz por un vector a derecha, estamos haciendo un producto interno canonico entre cada una de las filas y el vector. Con el mismo ejemplo de la nota anterior: $Ax = \mtx{1 & 4 \\ 0 & -1 \\ 1 & 2} \mtx{2 \\ -1} = \mtx{ \inner{\mtx{1 \\ 4}}{\mtx{2\\-1}} \\ \inner{\mtx{0 \\-1}}{\mtx{2\\-1}} \\ \inner{\mtx{1 \\ 2}}{\mtx{2\\-1}} } = \mtx{-2 \\ 1 \\ 0}$ .

Definiendo a la matriz $U \eqdef \mtx{u_1 & u_2 & \cdots & u_k}$ , tenemos entonces que su hermítica es la matriz $\herm{U} = \mtx{ \herm{u_1} \\ \herm{u_2} \\ \vdots \\ \herm{u_k} }$

Reemplanzando por $U$ y $\herm{U}$ se llega a la expresion:

$\proy{S}{x} = U\herm{U} x$

Concluímos entonces que:

$[\mathcal{P}_{S}]_E = U\herm{U}$

Explicación del funcionamiento

Al hacer $U\herm{U} x$ , lo que estamos haciendo es:

Obtener cada una de las proyecciones de $x$ sobre los elementos $u_i$ (haciendo $\herm{U}x$ , analizar la similitud evidente con $\inner{u_i}{x} = \herm{u_i} x$ ).
Armar la combinación lineal con los elementos de la base de $S$ , los $\{u_1, \cdots, u_k\}$ .

Si bien hay muchísimas otras formas de interpretar $U\herm{U} x$ , esta resume la línea de la demostración, la cual no es más que una vuelta de tuerca de la fórmula de proyección común y silvestre.

Todo muy lindo, pero qué pasa si estoy usando otro producto interno

Esto no vale, campeón.

Bueno… casí. Hay algo que se llama “Matriz de Producto Interno (o Matriz de Gram)” que ya no se da en la materia, pero que permitiría llegar a una expresión similar para un PI arbitrario (seguramente la vieron en algún resuelto para hacer productos internos especificados por una BON ).

Para este curso de álgebra, en el caso de tener un PI distinto del canónico, o coordenadas en alguna base distinta de la canónica, tendremos que obtener la matriz en bases dadas de la transformación lineal que proyecta sobre el subespacio S.

Sean $C=\{c_1, c_2, \cdots, c_k\}$ y $D$ bases de $\VV$ . La matriz de proyección en bases $C,D$ sobre $S\subset \VV$ se obtiene como:

$[P_S]_{CD} = \mtx{ [\proy{S}{c_1}]_D \quad [\proy{S}{c_2}]_D \quad \cdots \quad [\proy{S}{c_k}]_D }$

Esto no es más que la definición genérica de matriz de transformación lineal. Acá hay que armar la fórmula de proyección, proyectar los elementos de la base $C$ y escribir sus coordenadas de la base $D$ como columnas en la matriz. Tedioso tal vez, pero vale para cualquier PI y cualquier espacio, sean polinomios, exponenciales, o lo que fuese.

Recuerden que a veces es más fácil proyectar sobre $\ortog{S}$ y obtener $[P_S]_{CD} = C_{CD} - [P_{\ortog{S}}]_{CD}$
(Antes solía haber una $I$ en esa fórmula, pero como las bases son distintas apareció la matriz de cambio de base. Tiene sentido, pues $C_{CC} = I$ , y no aclaro más porque oscurece).

¿Y la matriz de Haussh… Household… ¡la de refexión!?

Obtener la matriz de Householder (o de reflexión) es algo que se deduce rápidamente habiendo llegado aquí.

La reflexión sobre un subespacio ${S}$ se define como:

$\mathcal{R}_S(x) = \proy{S}{x} - \proy{\ortog{S}}{x}$

Podemos prescindir de la proyección sobre $\ortog{S}$ usando la siguente identidad:

$\proy{\ortog{S}}{x} = x - \proy{S}{x}$

Quedando:

$\mathcal{R}_S(x) = 2\proy{S}{x} - x$

Lo cual podemos escribir matricialmente como:

$[\mathcal{R}_S]_E = 2U\herm{U} - I$

Que bueno… no es exactamente la forma de la matriz de Householder de la guia de ejercicios.

Matriz de Householder - Reflexión por un plano

La idea geométrica tras la matriz de reflexión, es reflejar por un plano (que pasa por el origen, claro está).

Si estamos en $\RR^3$ , un plano se describe fácilmente por su vector normal. O sea que, en lugar de tener la matriz $U$ con los generadores del plano, vamos a tener el plano dado un vector $w$ normal al plano, es decir, $\ortog{S}=\gen{w}$ . Vamos a pedir que $||w||=1$ para que sea BON de $\ortog{S}$ .

Así que rescatamos la expresión de la reflexión, pero ahora escribiendo todo en base al complemento ortogonal de S:

$\mathcal{R}_S(x) = x - 2\proy{\ortog{S}}{x}$

Y como $\{w\}$ es BON de $\ortog{S}$ :

$[\mathcal{R}_S]_E = I - 2w\herm{w}$

Que es la expresión usual para la matriz de Householder en nuestro curso.

Es importante remarcar que si bien llegamos a dos expresiones distintas, la matriz es exactamente la misma en ambos casos.

Matriz de TL de una Proyección

Deducción constructiva

Explicación del funcionamiento

Todo muy lindo, pero qué pasa si estoy usando otro producto interno

¿Y la matriz de Haussh… Household… ¡la de refexión!?

Matriz de Householder - Reflexión por un plano